Trajectory
27 Mar, 2012
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PDFThe shortest route
PRESENTATION: In the presence of acceleration, a moving point without friction takes the shortest time possible to run the distance between two points at different heights along a trajectory that is not straight.
- Thinking Outside of the Rectangular Box, Mikhail Kagan, Phys. Teach. 51, 215 (2013)
INTRODUCTION: The straight line has always been thought of as the shortest route between two points. However, a little over 300 years ago, someone started to wonder if this was completely true: Johann Bernoulli.
In 1696 this member of the Royal Society posed two difficult problems to the Society’s mathematicians, one of which was to find the “brachistochrone” (from the Greek brachistos or “shortest”, and chronos or “time interval”). To encourage his colleagues, he offered a scientific book to anyone who could resolve both problems within a maximum of six months. Great geniuses took part in the challenge (including Hooke, Leibniz, L’Hôpital and Varignon) but there was only one winner: Sir Isaac Newton.
OBJECTIVE: To verify the route that makes it possible to cover a certain distance in the least time.
MATERIALS: sheet of wood or plastic, two metal balls.
SETUP: Cut the pieces of wood or acrylic sheets to form two ledges on the sheet where the balls will be set rolling. Both the upper run and the lower run are of equal dimensions, but the upper one is straight and the other is curved. Place the runs in the sheet with several centimetres of separation, and with the right edges higher than the left ones (a ball sent rolling down either run should experience the same amount of vertical drop). Stick or bolt the runs onto the sheet and add two screws to the back (lower face) to lift the upper part of the sheet with respect to the horizontal.
In our case, we are using a structure made beforehand, where the different arrival times are easily appreciable.
EXPLANATION: People who are familiar with the law of conservation of energy, which demands that both balls have the same velocity at the end, often make the mistake of thinking that the descent time is the same for both. However, the ball that runs along the lower path reaches the end a lot sooner because its steep initial descent allows it to cover most of the trajectory at a velocity that is much greater than the ball above it.
There is an infinite number of possible trajectories that a ball can take on its vertical descent. One of these, know as the brachistochrone or cycloid, is the fastest. Clearly, the cross section of the lower run appears to be closer to the brachistochrone than the one at the top.
CONCEPTS: law of the conservation of energy, law of the conservation of momentum, cycloid curve or brachistochrone.
MORE INFORMATION:
TEXTS:
- Tipler P.A. Física. Barcelona: Reverté, 2010.
- De Juana J.M., Física General, Pearson, 2009.
- Serway R.A y J.W.Jewett. Física, Thomson-Paraninfo, 2010.
- R. Ehrlich, Turning the World Inside Out and 174 Other Simple Physics Demonstrations, Princeton University Press, 1997.
STUDENTS 2011-2012: Ana Rodríguez, Pablo Romero
LINK pdf STUDENTS (in Spanish):
9 responses to "Trajectory"
Uno de los experimentos más bonitos que hay y muy ligado con lo cotideano. Cualquiera puede pensar que el camino más rápido es el más corto o que si tomas la curva a más velocidad la recorrerás antes, pero todos los conductores profesionales saben que cuando uno toma una curva, entre todas las trayectorias posibles solo una es la que lleva menor tiempo, a esa trayectoria se le llama braquistrocrona.
Hoy en día con la llegada de los simuladores de conducción, es muy fácil observar las trayectorias de menor tiempo, y que no siempre implica mayor velocidad. Esto puede ayudar a motivar al alumno por la física.
A modo de curiosidad me gustaría añadir que Newton, que ya se había retirado de la vida científica, presentó a la Royal Society su solución al problema de forma anónima. Sin embargo, Bernoulli en seguida identificó dicha solución como suya y, cuando se le preguntó cómo sabía que aquella respuesta pertenecía a Newton, se dice que pronunció la famosa frase: “Porque reconozco las garras del león.”
En este enlace se puede consultar más información sobre el desafío de Bernoulli.
Es indudable que los conceptos de Física, son una herramienta de mucha utilidad en todos los campos de la ciencia y del conocimiento; son armas de gran valor cuando a través de un experimento pueden hacerse visibles y necesarias para entender el comportamiento de dicho experimento. Por consiguiente, es importante que el alumno aprenda significativamente, los conceptos básicos físico, las actualizaciones de los mismos y su historia.
El segmento cicloide, que produce el tiempo mínimo de viaje, es conocido como la braquistócrona que significa “de tiempo más breve”.
En 1696, Johann Bernouilli retó a la comunidad científica internacional desde las páginas de una revista matemática a encontrar la solución del problema de la braquitócroma que él había conseguido resolver. El desafío, requería determinar la curva plana entre dos puntos cualesquiera a distinta altura tal que una cuenta ensartada en un alambre con su forma cayera, sin fricción y por el efecto de la gravedad, desde un punto al otro en el menor tiempo posible.
El problema de la braquistócrona, daría lugar a métodos que hallarían pronto aplicaciones a campos de gran relevancia en Física, como el principio de Hamilton que estableció que el movimiento de un sistema mecánico se produciría minimizando una cantidad escalar que denominó acción. Matemáticamente, todas las coordenadas que definen el estado del sistema son funciones del tiempo y con una operación sobre ellas se consigue un escalar que es la acción. Su minimización proporciona el movimiento del sistema mecánico. El principio equivalente en óptica lleva el nombre de Fermat y permite determinar el trayecto de los rayos en el espacio. Además, los efectos de curvatura observados pueden ser comparados con la curvatura del espacio-tiempo que predijo Einstein cuando un planeta viaja en el espacio y es afectado por los efectos de los campos gravitatorios.
La línea recta no es el descenso más rápido, aunque sea la trayectoria más corta entre dos puntos; a este descenso se le denomina braquistócrona. El cicloide es una trayectoria curva, y como ejemplo se puede hacer rodar un aro sobre una superficie plana; otro ejemplo de cicloide sería la rueda de una bicicleta cuando está en movimiento.
Christian Huygens (La Haya, 1629-1695), matemático, físico y astrónomo, en el año 1673 descubrió que si un punto se desplaza a lo largo de la cicloide cuyas ecuaciones están descritas en forma paramétrica, en caída libre, llegará al punto mínimo de la Cicloide en un tiempo que no depende del origen desde donde comenzó a caer. Esta propiedad se la denomina tautócrona (del griego tauto, el mismo). Esta aplicación se trasladó a los relojes de péndulo, ya que describiendo una trayectoria de cicloide aunque varíe la amplitud de oscilación, el período permanece constante.
Pues sí que es paradójico, pero las magnitudes físicas están ahí, y sale lo que tiene que salir, que la trayectoria muy inclinada del tramo curvo, acelera el descenso inicialmente. Resultado: llega antes por la trayectoria curva que por la recta.
Está demostrado que la curva braquistócrona no deja de ser una cicloide como ya se ha comentado anteriormente. Durante la formación como docentes nos han inculcado la necesidad de integrar los contenidos en distintas materias y que el alumnado sea capaz de aplicar los conocimientos de una asignatura en otra. Por ello creo que esta actividad puede ser un enlace entre matemáticas, física y dibujo técnico. En este vídeo se muestra paso a paso cómo dibujar una cicloide y en este enlace está el desarrollo matemático de las ecuaciones de la cicloide aunque quizás sea demasiado complejo para el alumnado de ESO, e incluso, de Bachillerato. En este otro hay una actividad interactiva con la que los y las estudiantes pueden ir cambiando parámetros y ver la cicloide que se dibuja en cada caso.
Otro caso, totalmente distinto, pero también relacionado con trayectorias en las que la línea recta no es la trayectoria más rápida son los desplazamientos en avión. Contra lo que nos indica la intuición, en un vuelo la distancia más rápida entre dos puntos del planeta no es la línea recta. Esto es debido a la geometría casi esférica de la Tierra. De esta manera, sobre una superficie esférica la línea más corta entre dos puntos es el arco de círculo máximo que los une, es decir, un arco de círculo que pase por el origen y el destino teniendo como centro el mismo que la Tierra.
Este experimento paréceme moi orixinal á vez que sorprendente, porque por defecto tendemos a pensar que a forma máis rápida de chegar sempre é o camiño máis curto, pero a realidade que nos demostra este experimento é outra. Foi en xuño do 1696 cando Bernouilli propuxo na Acta Eruditorium o problema da braquistócrona, onde pedía “determinar la curva, entre las infinitas posibles, por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad”. Como xa comentan outros compañeiros, a explicación deste experimento reside na propiedade tautócrona da cicloide, o que está explicado e contextualizado neste blog. Serán por tanto necesarios coñecementos de física, matemáticas e debuxo para comprender correctamente o experimento. Isto dá pe a realizar un proxecto interdisciplinar nos centros educativos entre estas materias máis a de tecnoloxía, onde se pode construir a estructura deste experimento e coas outras integrar e asentar os conceptos coa explicación científica. Dito proxecto podería estar orientado a algún dos cursos de bacharelato, xa que os conceptos da cicloide, das ecuacións paramétricas, da cinemática e do debuxo técnico son bastante avanzados.
El proyecto que más me ha gustado hasta el momento, ya que ha resuelto una de las grandes dudas de mi niñez, cuando me pasaba tardes enteras jugando con Hot Wheels y preguntándome por qué un coche, dependiendo de la rampa que eligiese, llegaba antes que otro a la meta. Pues bien, más de 15 años después y gracias a Sir Isaac Newton y este proyecto, he conocido la respuesta.